Basic formulas of Inverse Trigonometry Functions

Functions	Domain	Range
Sin-1 x	[-1, 1]	[-π/2, π/2]
Cos-1x	[-1, 1]	[0, π ]
Tan-1 x	R	(-π/2, π/2)
Cot-1 x	R	( 0, π )
Sec-1 x	R-(-1,1)	[ 0,π ] - { π/2 }
Cosec-1 x	R-(-1,1)	[-π/2, π/2]-{0}

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sin(sin-1(x)) = x, -1≤ x ≤1

cos(cos-¹(x)) = x, -1≤ x ≤1

tan(tan-¹ (x)) = x, – ∞ < x < ∞.

cot(cot-¹(x)) = x, – ∞ < x < ∞.

sec(sec-¹(x)) = x,- ∞ < x ≤ 1 or 1 ≤ x < ∞

cosec(cosec-¹ (x)) = x, – ∞ < x ≤ 1 or -1 ≤ x < ∞

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sin-1(-x) = -sin-1(x), x ∈ [-1, 1]

cos-1(-x) = π -cos-1(x), x ∈ [-1, 1]

tan-1(-x) = -tan-1(x), x ∈ R

cot-1(-x) = π – cot-1(x), x ∈ R

sec-1(-x) = π -sec-1(x), |x| ≥ 1

cosec-1(-x) = -cosec-1(x), |x| ≥ 1

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sin-1(1/x) = cosec-1(x),   if x ≥ 1 or x ≤ -1

cos-¹(1/x) = sec-1(x),.    if x ≥ 1 or x ≤ -1

 tan-1(1/x) = cot-1(x),.    x > 0

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sin-1x + cos-1x = π/2 ,     x ∈ [-1, 1]

tan-¹x + cot-¹x = π/2 ,     x ∈ R

sec-¹x + cosec-¹x = π/2 ,   |x| ≥ 1

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tan-1 x + tan-1 y = tan-1 ( (x+y)/(1-xy)), 

                                                    (if the value xy < 1)

tan-1 x – tan-1 y = tan-¹((x-y)/(1+xy)),

                                                     if the value xy > -1

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2tan-¹ x = tan-¹[(2x/(1-x²)],.      -1<x<1

2 tan-¹ x = sin-¹[(2x/(1+x²)],        |x| ≤ 1

2tan-¹ x = cos-¹[((1-x²)/(1+x²)].     , x ≥ 0

2 Sin-¹x = sin-¹ (2x√1-x²)

2 Cos-¹x= Sin-¹(2x√1-x²) = Cos-¹(2x²-1)

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3sin-¹x = sin-¹ (3x-4x³)

3cos-¹ x = cos-¹ (4x³-3x)

3tan-¹x = tan-¹ [3x-x³)] / [1-3x²]

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tan-¹x +tan-¹y+tan-¹z = 

tan-¹ [(x³+y³+z³-3xyz)/1-xy-yz-zx)]

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